Ing. Mario Carmelo Gamarra Mendoza - R.N.I. 14908

Es Ingeniero Civil de la Universidad Autónoma Juan Misael Saracho, con Maestrías en Sistemas de Drenaje y Riego.

RESUMEN

El método Hardy-Cross es empleado ampliamente en la enseñanza de ingeniería de redes cerradas en Bolivia y su aplicación en el diseño de sistemas de agua potable. La norma boliviana NB-689 Instalaciones de Agua Potable – Diseño para Sistemas de Agua Potable y su Reglamento Técnico de Diseño para Sistemas de Agua Potable, establece que el método Hardy-Cross es uno de los recomendados para realizar el análisis hidráulico de una red de distribución cerrada. Al ser un proceso iterativo, es importante evaluar su convergencia y sus propiedades para establecer las limitaciones metodológicas al momento de resolver un sistema de agua potable.

Palabras clave: Método Hardy-Cross, convergencia, agua potable, norma boliviana NB-689

 Keywords: Hardy-Cross method, convergence, drinking water, Bolivian standard NB-689

INTRODUCCIÓN

Hardy Cross simplificó el modelado matemático de problemas complejos en ingeniería estructural e hidráulica mucho antes de la era de las computadoras. Las distribuciones de momentos en estructuras de hormigón indeterminadas descritas con ecuaciones diferenciales eran demasiado complejas para la época anterior a las computadoras. Hardy Cross aplicó estos hallazgos del análisis estructural más tarde al equilibrio del flujo en las redes de tuberías. Revolucionó la forma en que la profesión abordaba problemas complicados. Hoy en día, en la práctica de la ingeniería, se utiliza el método de Hardy Cross modificado propuesto por Epp y Fowler en lugar de la versión original del método de Hardy. Los métodos propuestos por Hamam y Brameller, Wood y Charles y Wood y Rayes también se utilizan en la práctica común. Además, el método orientado a nodos propuesto por Shamir y Howard también se basa en el método de Hardy Cross. (Brkić & Praks, 2019)

Existen diversos textos que permiten obtener una comprensión del método de Hardy-Cross, con una descripción del método, referencia de su desarrollo histórico, la formulación matemática del método, e inclusive con la presentación del ábaco del Método de Hardy-Cross, y ejemplos de aplicación. (Slight, 1941) (Soaded & Khudair Al-Obaidi, 2019)

Las referencias más ilustrativas del método Hardy-Cross exponen también ventajas y desventajas del método Hardy Cross. Entre las ventajas se puede indicar fácil de aplicar, se puede completar a mano el cálculo, la autocorrección incluso si se producen pequeños errores de cálculo, y entre las desventajas se tiene que en redes grandes, el número de iteraciones requeridas para la convergencia aumenta con el tamaño, en algunos casos, es posible que el método no converja si las conjeturas iniciales están demasiado alejadas, y en su forma original, no funciona bien con condiciones límite, bombas, depósitos múltiples, etc. Puede funcionar con bombas, ciertas válvulas (válvulas de retención, válvulas de control de flujo, válvulas reductoras de presión) y depósitos múltiples (es decir, más de una fuente) con alteraciones y el uso de pseudo bucles creados con enlaces imaginarios. A la mayoría de los estudiantes universitarios de ingeniería se les enseña el método de análisis de Hardy Cross, pero no los métodos actuales que se utilizan en la mayoría de los programas de software. (McAtee, 2022) 

Aplicaciones ingeniosas del método en bucles espaciales son expuestos en un artículo que es aplicado en redes de instalación de gas natural, que si bien es de carácter hipotético es interesante su planteamiento de artificios matemáticos. (Brkić, An improvement of Hardy Cross method applied on looped spatial natural gas distribution networks, 2009)

También se han observado considerables aportes técnicos en el desarrollo de software para el estudio del método Hardy-Cross. (Gameiro Lopes, 2004) 

Se documentaron problemas significativos de convergencia para los métodos: a) método de ajuste de ruta única (P), b) método de ajuste de nodo único (N) y c) método de ajuste de nodo simultáneo (SN). Estos métodos se usan ampliamente y los resultados de este estudio indican que se debe tener mucho cuidado al emplear estos métodos. Cada uno de los tres métodos que experimentó problemas significativos de convergencia requiere un conjunto de caudales o grados para iniciar la solución y la falla se puede reducir si se emplean valores iniciales que están más cerca de los valores correctos. Sin embargo, no parece haber medios confiables para determinar consistentemente mejores valores iniciales. Tanto el método de ajuste de ruta simultáneo (SP) como el método lineal (L) brindan una excelente convergencia donde las tasas de flujo y los grados se calculan con gran precisión y el logro de una precisión de caudal relativo de 0,005 es adecuada para asegurar esto. Los métodos SP y L lograron soluciones muy precisas en relativamente pocas pruebas con solo una falla conocida por el método SP. (Wood, 1981)

El método Hardy-Cross desencadenó la evolución de numerosas técnicas de simulación de redes de tuberías, es adecuada solo para redes relativamente pequeñas. Con la llegada de la computadora y a medida que se analizaban redes más grandes y complejas, se descubrió que el método Hardy-Cross con frecuencia converge demasiado lentamente, si es que lo hace. El método clásico que se describe en la mayoría de los libros de texto de hidráulica o mecánica de fluidos es una adaptación del método de Newton-Raphson que resuelve una ecuación a la vez antes de pasar a la siguiente ecuación durante cada iteración en lugar de resolver todas las ecuaciones simultáneamente. Los métodos de ruta única y nodo único respectivamente, son básicamente los métodos clásicos de Hardy-Cross. Métodos tradicionales descritos anteriormente no dan una buena idea de la bondad de una solución aproximada, especialmente para problemas de gran escala. (Lee, 1983)

Una investigación realizada sobre veintidós nuevos métodos correctores de bucle, además propone un tercer orden de convergencia. a pesar de los originales métodos correctores de bucle, es decir, el método Hardy Cross, estos nuevos los métodos teóricamente tienen un orden superior de convergencia. Se analizó una red de agua de muestra utilizando cuatro escenarios (92 casos en total) para comparar el rendimiento de estas nuevas versiones de los métodos de corrección de bucle con el original Método Hardy Cross. Los resultados indican que la cercanía de conjeturas iniciales a las soluciones finales se encontró que era un factor importante en el número de iteraciones requeridas. Sin embargo, considerando diferentes escenarios revela que los esquemas de un paso, dos pasos y tres pasos mejorar la tasa de convergencia del método Hardy Cross por 41%, 69,64% y 62,5%, respectivamente. Adicionalmente, uno de los métodos de dos pasos, el tercer algoritmo de Chun, se encontró para resolver la red de muestra en más número de iteraciones que el método Hardy Cross para uno de cada cuatro escenarios. Además, en base a la comparación del número de iteraciones y tiempo de cálculo de los cuatro escenarios, el algoritmo de Chebyshev y el algoritmo de Halley fueron mejores que otros métodos de un solo paso, mientras que Chun y el cuarto algoritmo de Kim y el algoritmo de Zavalani superaron otros métodos de dos y tres pasos, respectivamente. (Niazkar & Türkkan, 2021) 

El método de bucle de nodo es un poderoso procedimiento numérico para el cálculo de caudales o diámetros como problemas inversos en redes de distribución de fluidos en bucle. La ventaja principal del novedoso método de bucle de nodo es que el flujo en cada tubería se puede calcular directamente, lo cual no es posible para el Hardy Cross original ni para los métodos mejorados de Hardy Cross. (Brkić & Praks, An Efficient Iterative Method for Looped Pipe Network Hydraulics, 2019)

Existen diversas investigaciones que comparan los resultados obtenidos aplicando el método Hardy-Cross y el software EPANET, destacando la similitud de los mismos, y también considerando la evolución de las variables en función del tiempo. (Da Silva TeixeiraI, Vilalta-AlonsoII, & Mendes N, 2021) (Rodríguez Molina & Loaísiga, 2017) (Rai & Sanap, 2017) (Selami, Kaan, & Neslihan, 2008)

 DESARROLLO

La evaluación de la convergencia se ha enfocado en la cantidad de iteraciones para alcanzar el menor error en la estimación del balance del caudal y de la energía en los nudos de la red, considerando diferentes rutas del agua en la red de tuberías del agua. Sin embargo, tal enfoque no considera necesariamente las hipótesis de diseño establecidas inicialmente para la distribución del agua que asegure el abastecimiento de la población, es decir, se prioriza la obtención matemática de los caudales en las tuberías para únicamente satisfacer las condiciones del método Hardy-Cross.

 TOPOLOGÍAS DE LA RED DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA POTABLE

Se evaluaron las siguientes topologías de la red de distribución de agua potable:

Figura 1: Topologías de la red de distribución analizadas. Fuente: Elaboración propia

Cada una de ellas fue sometida a diversos escenarios de caudales que circulan en su interior, y también a variaciones aleatorias de las longitudes entre las tuberías que integran el sistema en un rango menor a 5 metros en las diferentes ubicaciones entre los nudos. También se ha considerado el ingreso de caudales en 2 diferentes nudos para cada topología. Para la primera topología se emplearon 4 escenarios de análisis, mientras que para las restantes topologías 25 escenarios de análisis, y en total se evaluaron 79 escenarios diferentes en cuanto a su disposición espacial y la capacidad de conducción de agua potable, mediante el método Hardy-Cross aplicando para su resolución iterativa el ajuste de ruta simultáneo (SP).

CONVERGENCIA DEL MÉTODO HARDY-CROSS APLICADO A LA RED DE AGUA POTABLE

La convergencia del método es garantizada mediante el cumplimiento de los siguientes criterios: 1) balance de masa en todos los nudos y cada anillo/malla de verificación, 2) balance de energía/carga de presión en los nudos de cada anillo/malla de verificación, 3) balance de energía/carga de presión en nudos de contorno específicos en los que las rutas de conducción del agua potable confluyen, y 4) el balance de los caudales que ingresan y salen de cada nudo de la red. Para la presente investigación se prescindieron de las pérdidas de carga local al desarrollar el análisis y se ha empleado únicamente la ecuación de Hazen-Willams para la estimación de las pérdidas por fricción en el sistema, considerando un mismo material de las tuberías. La adopción del diámetro comercial ha considerado su optimización, estableciendo un diámetro mínimo de 2½” y que a su vez la velocidad máxima sea menor o igual a 2 m/s. 

RESULTADOS

Los resultados del análisis realizado se presentan en los siguientes gráficos y tablas:

Tabla 1. Cantidad tramos de tubería Fuente: Elaboración propia

Las redes analizadas consideran una topología diferenciada por la cantidad de tramos de tubería.

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Figura 2: Convergencia del ΔQ en cada anillo de la topología 1. Fuente: Elaboración propia

Figura 3: Convergencia del Δh en cada anillo de la topología 1. Fuente: Elaboración propia

Figura 4: Convergencia del Δh en contornos de la topología 1. Fuente: Elaboración propia

Figura 5: Convergencia del balance de caudal en nudos de la topología 1. Fuente: Elaboración propia

Los anteriores gráficos muestran un caso sintetizado en las anteriores representaciones, siendo las demás obtenidas para el cada uno de los 79 casos analizados, representaciones análogas que en todos los casos demuestran que se ha alcanzado la convergencia del método Hardy-Cross. En el caso de la convergencia de contorno se observa que para algunos nudos esta se alcanza con un número de iteraciones más alto que el que se alcanza para cada anillo.

También se ha observado que el método Hardy-Cross generalmente ha alcanzado la convergencia cuando al menos uno de los tramos de tuberías ha reducido el caudal que transporta respecto del inicialmente considerado para atender la demanda del tramo, como se puede apreciar en las siguientes tablas.

Tabla 2. Rangos de caudales analizados en cada topología Fuente: Elaboración propia

Tabla 3. Déficit de caudal (%) en tuberías deficientes Fuente: Elaboración propia

Tabla 4. Cantidad escenarios que tienen tramos deficientes Fuente: Elaboración propia

Se observa que el máximo déficit de caudal en un tramo de tubería determinado alcanza valores tan altos mayores al 80 % en varios tramos de tubería, independientemente del caudal que alimenta al sistema de agua potable.

CONCLUSIÓN

La convergencia del método Hardy-Cross aplicando para su resolución iterativa el ajuste de ruta simultáneo (SP), es alcanzada tanto para garantizar el balance de masa en cada uno de los nodos, como así también para la conservación de la energía en cada uno de los anillos o ramales analizados, este hecho concuerda también con las diversas referencias consultadas.

Las soluciones del método Hardy-Cross deben analizar la convergencia de la conservación de la energía en diversas rutas que coincidan en su trayecto con el contorno de la red de distribución analizada, debido a que valores adecuados para garantizar una aproximación aceptable, es generalmente posible con un número mayor de iteraciones.

Las soluciones alcanzadas mediante la aplicación del método Hardy-Cross generalmente considera que al menos una tubería del sistema tendrá un caudal menor al requerido para atender la demanda estimada, aspecto que permite concluir que las soluciones tendrán presiones de trabajo al final de las líneas de tuberías mayores a las que realmente podrían presentarse, debido a que la velocidad consecuentemente será menor en las tuberías, e inclusive podría convertir en más crítica la situación si se rebaja el diámetro de la tubería. Una consecuencia de lo anteriormente expuesto es que siempre habrá la posibilidad de un diseño en condición deficitaria de atención de la demanda.

El método de Hardy-Cross continúa siendo brindado en los diferentes centros de enseñanza de ingeniería en Bolivia, e inclusive la norma NB-689 establece que puede ser uno de los métodos del cual adoptamos la solución del diseño del sistema de distribución de agua potable, y en base al análisis realizado es menester actualizar los contenidos en los centros de educación superior, para adoptar métodos matriciales más modernos que contribuyan a sensibilizar con la lógica de funcionamiento del software que actualmente se emplear para resolver redes de distribución de agua potable. 

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Brkić, D. (2009). An improvement of Hardy Cross method applied on looped spatial natural gas distribution networks. Applied Energy, 1290-1300. Obtenido de An improvement of Hardy Cross method applied on looped spatial natural gas distribution networks

Brkić, D., & Praks, P. (2019). An Efficient Iterative Method for Looped Pipe Network Hydraulics. PrePrints, 20.

Brkić, D., & Praks, P. (28 de Enero de 2019). PrePrints. Obtenido de The Multidisciplinary Preprint Platform: https://www.preprints.org/manuscript/201812.0300/v2

Da Silva TeixeiraI, G., Vilalta-AlonsoII, G., & Mendes N, L. J. (2021). Evaluation of nonlinear Iterative methods on pipe network. Revista Científica de Ingeniería Mecánica, Universidad Tecnológica de La Habana José Antonio Echeverría, Cujae, 11.

Gameiro Lopes, A. M. (2004). Implementation of the Hardy-Cross Method for the Solution of Piping Networks. Wiley Periodicals, Computer Science Interdisciplinary Applications, 117-125. Obtenido de https://core.ac.uk/download/pdf/144012924.pdf

Lee, M.-F. (1983). Publication No. 77 - Pipe Network Analysis. Gainesville: Water Resource Research Center - University of Florida. Obtenido de https://www.essie.ufl.edu/wrrc/wp-content/uploads/sites/4/2020/06/77_pipe_network_analysis.pdf

McAtee, K. (09 de Febrero de 2022). SunCam. Obtenido de SunCam is a continuing education provider for engineers worldwide of all disciplines. The Florida Board of Professional Engineers licensed Bill Dunn, the founder of the company: https://www.suncam.com/miva/downloads/docs/408.pdf

Niazkar, M., & Türkkan, G. E. (2021). Application of Third-Order Schemes to Improve the Convergence of the Hardy Cross Method in Pipe Network Analysis. Hindawi, Advances in Mathematical Physics, 12.

Rai, R. K., & Sanap, N. G. (2017). Analysis of Hydraulic Network Using Hardy-Cross Method and Epanet. 3rd International Conference on Recent Development in Engineering Science, Humanities and Management, 221-227.

Rodríguez Molina, Y. A., & Loaísiga, H. E. (2017). Comparación método Hardy Cross y Sofware Epanet en diseño de redes de agua potable. Revista Ciencia Y Tecnología El Higo, 2-10.

Selami, D., Kaan, Y., & Neslihan, M. (2008). Development of a modified Hardy-Cross algorithm for time-dependent simulations of water distribution networks. Fresenius Environmental Bulletin, 1045-1053.

Slight, J. M. (1941). Método de Hardy Cross para el análisis de las pérdidas de carga en las redes de distribución de agua potable. Anales Del Instituto De Ingenieros De Chile, 302–317. Obtenido de Anales Del Instituto De Ingenieros De Chile: https://revistas.uchile.cl/index.php/AICH/article/view/50109/52531

Soaded, A., & Khudair Al-Obaidi, B. H. (2019). Sanitary and Environmental Engineering. Obtenido de https://coeng.uobaghdad.edu.iq/wp-content/uploads/sites/3/2019/09/sanitary-engineering.pdf

Wood, D. J. (1981). Algorithms for Pipe Network Analysis and Their Reliability. Lexington, Kentucky: Algorithms for Pipe Network Analysis and their Reliability, Research Report No. 127.